도형 넓이·둘레 공식 총정리 — 원·삼각형·사각형
원·삼각형·직사각형·정사각형·사다리꼴의 넓이와 둘레 공식을 표로 정리하고 예시로 쉽게 설명합니다.
학창 시절에 외웠던 도형 공식은 막상 필요할 때면 가물가물합니다. 방 넓이를 재거나, 화단 둘레에 울타리를 두르거나, 아이 숙제를 봐 줄 때처럼 도형의 넓이와 둘레는 생각보다 자주 등장합니다. 이 글에서는 원·삼각형·직사각형·정사각형·사다리꼴·평행사변형의 공식을 한곳에 모아 예시와 함께 정리했습니다. 숫자만 넣어 바로 답을 얻고 싶다면 도형 계산기를 활용하세요.
한눈에 보기
- 원 넓이 = πr², 원주(둘레) = 2πr (π ≈ 3.14159)
- 직사각형 넓이 = 가로 × 세로, 둘레 = 2 × (가로 + 세로)
- 정사각형 넓이 = a², 둘레 = 4a
- 삼각형 넓이 = ½ × 밑변 × 높이 (세 변만 알 땐 헤론의 공식)
- 사다리꼴 넓이 = ½ × (윗변 + 아랫변) × 높이
- 값만 넣으면 바로 계산되는 도형 계산기도 함께 쓰면 편합니다.
원
원에서 가장 중요한 값은 반지름(r)입니다. 반지름은 원의 중심에서 둘레까지의 거리이고, 지름은 그 두 배입니다.
넓이 = πr² 원주(둘레) = 2πr
원주율 π는 약 3.14159이지만, 손으로 계산할 때는 보통 3.14로 줄여 씁니다.
예) 반지름이 5cm인 원
- 넓이 = 3.14159 × 5² = 3.14159 × 25 ≈ 78.54cm²
- 둘레 = 2 × 3.14159 × 5 ≈ 31.42cm
지름만 알고 있다면 반지름은 지름 ÷ 2로 먼저 구한 뒤 공식에 넣으면 됩니다.
삼각형
삼각형 넓이의 기본 공식은 밑변과 높이를 곱한 뒤 반으로 나누는 것입니다. 여기서 높이는 밑변과 직각을 이루는 수직 거리입니다.
넓이 = ½ × 밑변 × 높이
예) 밑변 8cm, 높이 6cm → ½ × 8 × 6 = 24cm²
높이를 모르고 세 변의 길이(a, b, c)만 아는 경우에는 헤론의 공식을 씁니다. 먼저 둘레의 절반인 s를 구합니다.
s = (a + b + c) ÷ 2 넓이 = √(s(s − a)(s − b)(s − c))
예) 세 변이 3, 4, 5cm인 삼각형
- s = (3 + 4 + 5) ÷ 2 = 6
- 넓이 = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6cm²
사각형·기타 다각형
직사각형, 정사각형, 사다리꼴, 평행사변형은 모두 변과 높이만 알면 간단히 구할 수 있습니다.
- 직사각형: 넓이 = 가로 × 세로, 둘레 = 2 × (가로 + 세로)
- 정사각형: 넓이 = a²(한 변의 제곱), 둘레 = 4a
- 사다리꼴: 넓이 = ½ × (윗변 + 아랫변) × 높이
- 평행사변형: 넓이 = 밑변 × 높이
예) 가로 10cm, 세로 4cm인 직사각형 → 넓이 = 10 × 4 = 40cm², 둘레 = 2 × (10 + 4) = 28cm
예) 윗변 6cm, 아랫변 10cm, 높이 4cm인 사다리꼴 → ½ × (6 + 10) × 4 = 32cm²
사다리꼴에서 윗변과 아랫변은 서로 평행한 두 변을 뜻하고, 높이는 그 두 변 사이의 수직 거리입니다.
공식 한눈에 표
| 도형 | 넓이 | 둘레 |
|---|---|---|
| 원 | πr² | 2πr |
| 직사각형 | 가로 × 세로 | 2 × (가로 + 세로) |
| 정사각형 | a² | 4a |
| 삼각형(밑변·높이) | ½ × 밑변 × 높이 | a + b + c |
| 삼각형(세 변) | √(s(s−a)(s−b)(s−c)), s=(a+b+c)/2 | a + b + c |
| 사다리꼴 | ½ × (윗변 + 아랫변) × 높이 | 네 변의 합 |
| 평행사변형 | 밑변 × 높이 | 2 × (밑변 + 옆변) |
자주 묻는 질문
원의 넓이와 둘레는 어떻게 다른가요?
넓이는 원 안쪽의 면적(πr²)이고, 둘레(원주)는 원의 가장자리를 한 바퀴 돈 길이(2πr)입니다. 단위도 넓이는 cm²처럼 제곱, 둘레는 cm처럼 길이로 다릅니다.
높이를 모르는데 삼각형 넓이를 구할 수 있나요?
네. 세 변의 길이를 알고 있다면 헤론의 공식 √(s(s−a)(s−b)(s−c))로 구할 수 있습니다. s는 세 변의 합을 2로 나눈 값입니다.
사다리꼴에서 윗변과 아랫변은 어느 변인가요?
서로 평행한 두 변을 윗변과 아랫변이라고 부릅니다. 길이가 길고 짧은 것은 상관없으며, 넓이 공식에는 두 변의 합을 넣으면 됩니다.
원주율 π는 어떤 값을 쓰면 되나요?
정확한 값은 약 3.14159이지만, 손으로 계산할 때는 3.14를 쓰면 충분합니다. 더 정밀한 결과가 필요하면 계산기를 활용하는 편이 좋습니다.
마무리
도형 넓이와 둘레는 공식만 알면 어렵지 않습니다. 원은 반지름, 삼각형은 밑변과 높이(또는 세 변), 사각형류는 변의 길이를 기준으로 외워 두면 대부분의 상황에 대응할 수 있습니다. 숫자가 복잡하거나 헤론의 공식처럼 제곱근이 들어가는 계산은 도형 계산기에 값만 입력해 정확하게 확인해 보세요.