이차방정식 근의공식과 판별식 완전 정복

중학교와 고등학교 수학에서 빠지지 않고 등장하는 것이 이차방정식입니다. 인수분해가 깔끔하게 되지 않는 식이라도 근의공식 하나만 알면 어떤 이차방정식이든 풀 수 있고, 판별식을 보면 굳이 풀어 보지 않아도 근이 몇 개인지 미리 알 수 있습니다. 이 글에서는 이차방정식의 기본 형태부터 근의공식, 판별식으로 근의 개수를 판별하는 법, 그리고 직접 풀어 보는 예제까지 차근차근 정리합니다. 계수만 입력하면 답을 바로 보여 주는 이차방정식 계산기도 함께 활용해 보세요.

한눈에 보기

• 이차방정식: ax² + bx + c = 0 (단, a ≠ 0)
• 근의공식: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
• 판별식 D = b² - 4ac로 근의 개수를 먼저 판단할 수 있습니다.
  • D > 0 → 서로 다른 두 실근
  • D = 0 → 중근(서로 같은 실근 1개)
  • D < 0 → 실근 없음(서로 다른 두 허근)
• 근과 계수의 관계: 두 근의 합 = -b/a, 두 근의 곱 = c/a
• 계산이 번거롭다면 이차방정식 계산기에 a, b, c만 넣으면 됩니다.

이차방정식이란

이차방정식은 미지수의 최고 차수가 2인 방정식으로, 일반적으로 ax² + bx + c = 0 꼴로 나타냅니다. 여기서 a, b, c는 상수이며, 가장 중요한 조건은 a ≠ 0이라는 점입니다. 만약 a가 0이라면 x²항이 사라져 일차방정식이 되어 버리기 때문입니다.

이때 a를 이차항의 계수, b를 일차항의 계수, c를 상수항이라고 부릅니다. 예를 들어 2x² - 3x + 1 = 0에서는 a = 2, b = -3, c = 1입니다. 이차방정식의 해(근)는 이 식을 만족시키는 x의 값을 말하며, 보통 최대 2개까지 존재합니다.

근의공식

인수분해가 잘 되는 식은 인수분해로 푸는 것이 빠르지만, 계수가 복잡하거나 깔끔하게 인수분해되지 않는 식도 많습니다. 이럴 때 어떤 이차방정식이든 해결해 주는 만능 열쇠가 바로 근의공식입니다.

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

사용법은 간단합니다. 풀려는 식을 ax² + bx + c = 0 꼴로 정리한 뒤, a, b, c 값을 공식에 그대로 대입하면 됩니다. 공식 안의 ± 기호 때문에 일반적으로 두 개의 근이 나오는데, 이는 더하는 경우와 빼는 경우를 각각 계산한 결과입니다.

판별식으로 근의 개수 판별

근의공식에서 루트(√) 안에 들어가는 부분, 즉 b² - 4ac를 판별식이라고 하며 보통 D로 표기합니다. 이 D의 부호만 보면 식을 끝까지 풀지 않아도 근이 어떤 형태로 몇 개인지 알 수 있습니다.

• D > 0: 루트 안이 양수이므로 ±에 의해 값이 달라져 서로 다른 두 실근을 가집니다.
• D = 0: 루트 값이 0이 되어 ±가 의미가 없어지므로 중근(서로 같은 실근 1개)을 가집니다.
• D < 0: 루트 안이 음수라 실수 범위에서는 값을 구할 수 없으므로 실근이 없습니다(서로 다른 두 허근, 즉 복소근).

또한 근을 직접 구하지 않아도 두 근에 대한 정보를 얻을 수 있는데, 이것이 근과 계수의 관계입니다. 두 근의 합은 -b/a, 두 근의 곱은 c/a가 됩니다. 검산이나 근의 성질을 따질 때 유용합니다.

예제 풀이

말로만 보면 어렵게 느껴지니 실제 숫자로 세 가지 경우를 모두 풀어 보겠습니다.

예제 1) x² - 5x + 6 = 0 (D > 0)

a = 1, b = -5, c = 6입니다. 판별식 D = (-5)² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1로 0보다 크므로 서로 다른 두 실근을 가집니다. 이 식은 인수분해도 되는데, (x-2)(x-3) = 0이므로 x = 2 또는 x = 3입니다.

예제 2) x² - 4x + 4 = 0 (D = 0)

a = 1, b = -4, c = 4입니다. 판별식 D = (-4)² - 4×1×4 = 16 - 16 = 0이므로 중근을 가집니다. (x-2)² = 0 꼴이므로 x = 2 (중근) 하나뿐입니다.

예제 3) x² + x + 1 = 0 (D < 0)

a = 1, b = 1, c = 1입니다. 판별식 D = 1² - 4×1×1 = 1 - 4 = -3으로 0보다 작으므로 실근이 없습니다. 실수 범위에서는 해가 존재하지 않고, 복소수 범위에서 서로 다른 두 허근을 가집니다.

자주 묻는 질문

근의공식과 인수분해 중 무엇으로 풀어야 하나요?

인수분해가 한눈에 보이는 식은 인수분해가 더 빠릅니다. 하지만 인수분해가 잘 안 되거나 계수가 복잡할 때는 근의공식을 쓰면 항상 풀 수 있습니다.

판별식만으로 근을 구할 수 있나요?

판별식 D는 근의 '개수와 종류'만 알려 줍니다. 실제 근의 값을 구하려면 근의공식에 a, b, c를 대입해 계산해야 합니다.

중근이 무엇인가요?

판별식 D가 0일 때 나오는, 서로 같은 실근 1개를 중근이라고 합니다. 형태상 두 근이 겹쳐 하나의 값으로 나타나는 경우입니다.

실근이 없다는 것은 답이 없다는 뜻인가요?

실수 범위에서는 해가 없다는 뜻이지만, 복소수까지 범위를 넓히면 서로 다른 두 허근(복소근)이 존재합니다. 고등학교 과정에서는 보통 "실근 없음"으로 답합니다.

근과 계수의 관계는 언제 쓰나요?

두 근을 직접 구하지 않고도 합과 곱을 알아야 할 때, 또는 구한 근이 맞는지 검산할 때 유용합니다. 두 근의 합은 -b/a, 곱은 c/a입니다.

마무리

이차방정식은 ax² + bx + c = 0 형태로 정리한 뒤, 근의공식 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)에 대입하면 어떤 식이든 풀 수 있습니다. 풀기 전에 판별식 D = b² - 4ac의 부호를 보면 실근·중근·허근 여부를 미리 판단할 수 있어 시간을 아낄 수 있습니다. 손으로 계산하기 번거롭거나 검산이 필요하다면 이차방정식 계산기에 a, b, c 값을 입력해 보세요.