최대공약수·최소공배수 구하는 법 (유클리드 호제법)
최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)의 뜻과 구하는 법을 정리. 유클리드 호제법, LCM 공식, 분수 약분·통분 활용까지 예시로 쉽게 설명합니다.
분수를 약분하거나 통분할 때, 또 일정 주기가 맞물리는 시점을 찾을 때 등장하는 것이 최대공약수와 최소공배수입니다. 개념과 유클리드 호제법만 알면 큰 수도 손쉽게 풀 수 있습니다. 계산이 번거롭다면 최대공약수·최소공배수 계산기에 값을 넣으세요.
한눈에 보기
- 최대공약수(GCD): 두 수를 모두 나누는 가장 큰 수
- 최소공배수(LCM): 공통 배수 중 가장 작은 수
- 유클리드 호제법: gcd(a, b) = gcd(b, a를 b로 나눈 나머지), 나머지가 0이면 그때의 b가 GCD
- LCM = a × b ÷ GCD
- 활용: 분수 약분(GCD), 분수 통분(LCM)
- 큰 수는 최대공약수·최소공배수 계산기로 바로 확인하세요.
최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)란
- 최대공약수는 두 수를 동시에 나누어떨어지게 하는 약수 중 가장 큰 값입니다.
- 최소공배수는 두 수의 공통 배수 가운데 가장 작은 값입니다.
예) 12와 18의 공약수는 1, 2, 3, 6이고 그중 가장 큰 6이 GCD입니다. 공배수는 36, 72…이며 가장 작은 36이 LCM입니다.
유클리드 호제법으로 GCD 구하기
큰 수의 약수를 일일이 찾을 필요 없이, 나머지를 이용해 빠르게 구합니다.
gcd(a, b) = gcd(b, a를 b로 나눈 나머지) 나머지가 0이 되면, 그때의 b가 최대공약수
예) gcd(48, 36)을 구해 봅시다.
| 단계 | a | b | a ÷ b의 나머지 |
|---|---|---|---|
| 1 | 48 | 36 | 12 |
| 2 | 36 | 12 | 0 |
2단계에서 나머지가 0이 되었으므로 그때의 b인 12가 최대공약수입니다.
최소공배수(LCM) 구하기
GCD를 구했다면 LCM은 곱셈과 나눗셈 한 번으로 끝납니다.
LCM = a × b ÷ GCD
예) 48과 36은 GCD가 12이므로 LCM = 48 × 36 ÷ 12 = 144입니다.
분수 약분과 통분에 쓰기
GCD와 LCM은 분수 계산에서 특히 유용합니다.
- 약분(GCD): 분자와 분모를 GCD로 나눠 분수를 간단히 합니다. 예) 18/24는 GCD가 6이므로 양쪽을 6으로 나눠 3/4.
- 통분(LCM): 분모가 다른 분수를 더하거나 뺄 때 분모의 LCM으로 분모를 맞춥니다. 예) 1/4와 1/6은 분모 4와 6의 LCM인 12로 통분해 3/12 + 2/12 = 5/12.
자주 묻는 질문
최대공약수와 최소공배수는 무엇이 다른가요?
최대공약수는 두 수를 모두 나누는 가장 큰 수이고, 최소공배수는 두 수의 공통 배수 중 가장 작은 수입니다.
유클리드 호제법은 어떻게 쓰나요?
큰 수를 작은 수로 나눈 나머지로 같은 과정을 반복합니다. 나머지가 0이 되는 순간의 나누는 수가 최대공약수입니다.
최소공배수는 어떻게 구하나요?
두 수의 곱을 최대공약수로 나누면 됩니다. LCM = a × b ÷ GCD 입니다.
약분과 통분에 각각 무엇을 쓰나요?
약분에는 최대공약수(GCD), 통분에는 최소공배수(LCM)를 사용합니다.
마무리
최대공약수는 유클리드 호제법으로, 최소공배수는 'a × b ÷ GCD'로 구하면 큰 수도 어렵지 않습니다. 분수 약분·통분까지 두루 쓰이니 익혀 두면 좋습니다. 빠르게 답만 확인하고 싶다면 최대공약수·최소공배수 계산기에 두 수를 입력해 보세요.